Matemática discreta Ejemplos

$f (x) = - 3 + 3 x + x^{2}$

Paso 1

El mínimo de una función cuadrática se produce en $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ es positiva, el valor mínimo de la función es $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{mín.}$ $x = a x^{2} + b x + c$ ocurre en $x = - \frac{b}{2 a}$

Paso 2

Obtén el valor de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ .

$x = - \frac{3}{2 (1)}$

Paso 2.2

Elimina los paréntesis.

$x = - \frac{3}{2 (1)}$

Paso 2.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = - \frac{3}{2}$

Paso 3

Evalúa $f (- \frac{3}{2})$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{3}{2}$ en la expresión.

$f (- \frac{3}{2}) = - 3 + 3 (- \frac{3}{2}) + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Multiplica $3 (- \frac{3}{2})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 3 - 3 (\frac{3}{2}) + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2

Combina $- 3$ y $\frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 3 + \frac{- 3 \cdot 3}{2} + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 3.2.1.1.3

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 3 + \frac{- 9}{2} + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 3.2.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{3}{2}) = - 3 - \frac{9}{2} + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Paso 3.2.1.3

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.2.1.3.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 3 - \frac{9}{2} + {(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}$

Paso 3.2.1.3.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 3 - \frac{9}{2} + {(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}})$

Paso 3.2.1.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 3 - \frac{9}{2} + 1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})$

Paso 3.2.1.5

Multiplica $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 3 - \frac{9}{2} + \frac{3^{2}}{2^{2}}$

Paso 3.2.1.6

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 3 - \frac{9}{2} + \frac{9}{2^{2}}$

Paso 3.2.1.7

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 3 - \frac{9}{2} + \frac{9}{4}$

Paso 3.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 3.2.2.1

Escribe $- 3$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 3}{1} - \frac{9}{2} + \frac{9}{4}$

Paso 3.2.2.2

Multiplica $\frac{- 3}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 3}{1} \cdot \frac{4}{4} - \frac{9}{2} + \frac{9}{4}$

Paso 3.2.2.3

Multiplica $\frac{- 3}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 3 \cdot 4}{4} - \frac{9}{2} + \frac{9}{4}$

Paso 3.2.2.4

Multiplica $\frac{9}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 3 \cdot 4}{4} - (\frac{9}{2} \cdot \frac{2}{2}) + \frac{9}{4}$

Paso 3.2.2.5

Multiplica $\frac{9}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 3 \cdot 4}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{9}{4}$

Paso 3.2.2.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 3 \cdot 4}{4} - \frac{9 \cdot 2}{4} + \frac{9}{4}$

Paso 3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 3 \cdot 4 - 9 \cdot 2 + 9}{4}$

Paso 3.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.4.1

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 12 - 9 \cdot 2 + 9}{4}$

Paso 3.2.4.2

Multiplica $- 9$ por $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 12 - 18 + 9}{4}$

Paso 3.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.5.1

Resta $18$ de $- 12$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 30 + 9}{4}$

Paso 3.2.5.2

Suma $- 30$ y $9$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{- 21}{4}$

Paso 3.2.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{3}{2}) = - \frac{21}{4}$

Paso 3.2.6

La respuesta final es $- \frac{21}{4}$ .

$- \frac{21}{4}$

Paso 4

Usa los valores $x$ y $y$ para obtener dónde ocurre el mínimo.

$(- \frac{3}{2}, - \frac{21}{4})$

Paso 5